Fila Infinita y Sombreros

Para mi segunda entrada, voy a enunciar un problema matemático que tiene que ver con la probabilidad:

Infinitas personas forman una fila india. P2 está detrás de P1, P3 está detrás de P2, y así sucesivamente (P1, P2, P3, ...). Estas personas están de pie, con las manos atadas, con la boca tapada con cinta adhesiva para que no puedan hablar, y muy vigilados por soldados de tal manera que cualquier movimiento brusco puede resultar fatal para la persona que se mueva bruscamente.

Además, cada persona en la fila lleva encima de la cabeza un sombrero o bien de color azul, o bien de color amarillo. Se utilizó un sistema aleatorio para ver qué sombrero llevaba puesto cada persona (en otras palabras, hay un 50% de probabilidades de que una persona lleve puesto un sombrero azul, y un 50% de probabilidades de que lleve un sombrero amarillo).

Nadie conoce el color de su propio sombrero, pero cada persona puede ver el sobrero de la persona que tiene delante (no pueden mirar a la persona que tienen detrás, se considera un movimiento brusco por parte de los soldados). A una hora determinada, los soldados quitarán la cinta adhesiva que llevan las personas (de forma simultánea), y todos a la vez y de forma simultánea deberán gritar el color del sombrero que tienen puesto, (o azul, o amarillo). Los gritos tienen que ser simultáneos, de manera que nadie pueda utilizar lo que dicen los demás para decidir de qué color es su sombrero.

Los que identifiquen correctamente el color de su sombrero se les pondrá en libertad; los que fallen a la hora de identificar el color de su sombrero irán a la cárcel.

¿Qué estrategia pueden acordar de antemano P1, P2, P3, ... para garantizar que vayan a la cárcel a lo sumo un número finito de personas?

Sorprendente, existe una solución. Espero vuestros comentarios, y si nadie sabe cómo encontrar la solución al problema, lo contestaré en el cierre de la entrada.

Cierre de la entrada:

Para empezar, voy a explicar un poco sobre las curiosidades y paradojas que tiene el problema planteado.

Al ser una fila infinita, se da la circunstancia de que las personas de la fila tiene un número infinito de personas tanto delante como detrás (en otras palabras, la fila no tiene ni comienzo ni final).

Muchos de los comentaristas de esta entrada apostaban por utilizar una estrategia de decir el color del sombrero que menos había aparecido hasta ahora (que como correctamente señaló Eva, el color del sobrero de una persona no depende del color del sombrero de las personas que tenemos delante).

Siguiendo la estrategia mencionada antes, cada persona tiene una probabilidad del 50% de no ir a la cárcel. En este caso infinitas personas se salvarían e infinitas personas irían a la cárcel. ¡Tenemos otra nueva paradoja!

Como vemos, este problema es un problema que rompe con toda lógica y con las leyes de la física clásica, estamos ante un problema "filosófico," "metafísico." (Más allá de la física). Lo que debemos hacer es idear un sistema que permita que cada persona tenga una probabilidad del 100% de salvarse; cualquier probabilidad inferior al 100% nos daría el problema anterior (infinitas personas se salvan e infinitas personas van a la cárcel).

La solución que propone Onseo es bastante buena, porque así aseguramos que cada persona recibe información del color del sobrero que lleva puesto. Solo hay un problema, todas las personas deberían avisar al compañero con una "patada sutil" de forma simultánea. Al ser una fila infinita, la transmisión de la información a través de la fila debe ser instantánea, de lo contrario se tardaría una eternidad hasta que todas las personas reciban la información (o patadita).

Siempre y cuando la "patadita" sea forma simultánea, la solución de Onseo es válida.

La solución al problema: Es utilizar ésta estrategia. Todos acuerdan ponerse en fila siempre y cuando el último de la fila lleve un sombrero azul. Si el último de la fila lleva un sombrero amarillo, las personas forman una nueva fila a la derecha de la fila anterior en perpendicular con la primera persona de la fila anterior.

Además, todos acuerdan que todas las personas de la filas deberán estar de frente a la puerta de salida (de donde sale una persona nueva para ponerse en la fila).

Organizándose de esta manera, todas las personas saben qué sombrero lleva puesto. Lo que debes hacer es colocarte en la fila que te corresponde, y fijarte en el comportamiento de la siguiente persona que entra. Si se coloca detrás tuyo significa que tú llevas un sombrero azul. En cambio, si decide formar una nueva fila a tu derecha, significa que tú llevas un sombrero amarillo.

De esta forma conseguimos que infinitas personas se salven y finitas personas vayan a la cárcel (que serán los "despistadillos" que se equivoquen). De esta forma conseguimos un 100% de probabilidad de salvarnos (infinito/finito = infinito, aunque vayan personas a la cárcel, al ser un número finito, hay un 100% de posibilidades de salvarte. ¡Otra paradoja!).

Por último una nueva curiosidad, formar una fila infinita de personas es imposible por dos razones, la primera porque necesitaríamos toda la eternidad (tiempo infinito) para formar la fila, y segundo porque "solo" somos 6000 millones de personas en el mundo.

Si os ha gustado el problema, para próximas entradas pondré más problemas estadísticos de tipo "metafísico."