Loteria y Probabilidad

Como curiosidad se me ha ocurrido buscar como calcular las probabilidades de algunos de los juegos de lotería que se juegan en España. Los resultados son curiosos, porque los más difíciles de ganar resulta que son los más jugados, lo cual no deja de ser sorprendente y muestra que, tal vez, falta algo de formación matemática en esta sociedad. Veamos el cálculo para algunos juegos comunes:

Los más jugados son la primitiva y la quiniela, con probabilidades de ganar bastante bajas.
Primitiva: Se escogen 6 números de entre 49, por lo que para sacar el máximo sería: (6!/49!) = 1/13983816, o sea la probabilidad de 1 entre casi 14 millones.
Quiniela: Hay 15 partidos, cada uno con tres posibles resultados (1X2), por tanto, para sacar un pleno al quince, sería: 1/3^15 = 1/14348907, es decir la probabilidad de 1 entre algo más de 14 millones.

Aunque éste es un análisis muy simplista (solamente tiene en cuenta el premio máximo y no los inferiores, y tampoco tiene en cuenta que algunos juegos, como la quiniela, no son estrictamente aleatorios), es bastante ilustrativo de lo difícil que es que toque una quiniela o una primitiva en comparación con el típico cuponcillo de toda la vida (unas 140 veces más improbable).

Haciendo un análisis más completo, deberíamos tener en cuenta los premios secundarios de cada juego, así como la cuantía de los mismos y el coste del boleto, ya que un juego puede ser fácil de ganar pero con premios bajos, o muy poco probable pero con unos premios tremendos cuando toca, por lo que lo suyo sería calcular la esperanza de ganancia, que viene a ser una medida de lo que acabaríamos ganando si jugásemos infinitas veces. Generalmente, la esperanza de un juego es negativa, por eso de que la banca siempre gana, pero en ocasiones no es así, y en cualquier caso siempre conviene jugar al juego con mejor esperanza, aun dentro de lo negativo. Por muy improbable que sea la primitiva, en ocasiones acumula botes muy jugosos, por lo que no me extrañaría que, en esos casos, la esperanza de ganancia se hiciera positiva. Eso quiere decir que, en esos casos, es más favorable, probabilísticamente hablando, jugar que no jugar.

En fin, como conclusión a esto, creo que no se debería de jugar a la primitiva (salvo botes gordos) ya que la probabilidad es muy escasa, aunque también es cierto que si todo el mundo siguiese este planteamiento nadie jugaría. En todo caso se debería de comprar algún cuponcillo y, sobre todo, el del gordo de Navidad, que además de ser bueno probabilísticamente hablando, si toca ganas mucho dinero, por lo que la esperanza debe ser considerable.

En cualquier caso, acabaré con una reflexión filosófica según la cual, por ética, no deberíamos jugar a ningún tipo de lotería: en un mundo lleno de desigualdades, en el que la mayor parte de la riqueza mundial la mantienen unos pocos, ¿para qué queremos participar en un proceso que recolecta dinero de todos para concentrarlo en una sola persona?